Question

9．已知點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)P在直線x-2y=0上運(yùn)動(dòng)．以線段AP為直徑作一個(gè)圓，求該圓恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 求出圓的方程，根據(jù)圓的方程建立方程組關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)P在直線x-2y=0上運(yùn)動(dòng)，
∴設(shè)P（2a，a），設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)為C（x，y），
則以PA為直徑的圓的方程為x（x-2a）+（y-4）（y-a）=0，
即x²+y²-2ax-（a+4）y+4a=0，
即x²+y²-4y+a（-2x-y+4）=0，
若直線過定點(diǎn)，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4y=0}\\{-2x-y+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
即圓過定點(diǎn)（0，4）和（$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的方程的應(yīng)用，以及圓過定點(diǎn)問題，綜合考查學(xué)生的計(jì)算能力．