Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD=$\frac{1}{2}$AC=2，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$．
（1）證明：AP⊥BD；
（2）若AP=$\sqrt{7}$，AP與BC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，求二面角A-BP-C的余弦值．．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$，BC=CD．可得BD⊥AC．再利用面面垂直的性質(zhì)可得BD⊥平面PAC，即可證明．
（2）連接BD與AC相交于點(diǎn)E，由于BC=CD=$\frac{1}{2}AC=2$，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$．可得BD⊥AC，又BD⊥平面PAC，分別以EB，EC為x，y軸，過點(diǎn)E與平面ABCD垂直的直線為z軸，則z軸?平面APC．設(shè)P（0，y，$\sqrt{7-（y+3）^{2}}$），由于AP與BC所成的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$，可得$\frac{\sqrt{7}}{7}$=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BC}|}$，-3≤y≤0，解得y．可得P坐標(biāo)，設(shè)平面ABP的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，同理可得平面BPC的法向量$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）證明：∵∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$，BC=CD．∴BD⊥AC．
∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AP．
（2）解：連接BD與AC相交于點(diǎn)E，
∵BC=CD=$\frac{1}{2}AC=2$，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$．
則BD⊥AC，
又BD⊥平面PAC，分別以EB，EC為x，y軸，過點(diǎn)E與平面ABCD垂直的直線為z軸，則z軸?平面APC．
可得B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），A（0，-3，0），設(shè)P（0，y，$\sqrt{7-（y+3）^{2}}$），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，y+3，$\sqrt{7-（y+3）^{2}}$）．
∵AP與BC所成的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴$\frac{\sqrt{7}}{7}$=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{|y+3|}{2\sqrt{7}}$，-3≤y≤0，解得y=-1．
∴P（0，-1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BP}$=（-$\sqrt{3}$，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，3，0），
設(shè)平面ABP的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}z=0}\\{\sqrt{3}x+3y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，-1，\frac{2\sqrt{3}}{3}）$．
同理可得：平面BPC的法向量$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{3}，3，2\sqrt{3}）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\frac{4}{\sqrt{3}}×2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∵二面角A-BP-C的平面角為鈍角，
∴二面角A-BP-C的余弦值為$-\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、向量的夾角關(guān)系、線面垂直與平行的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．