Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-（-1）^k2lnx（k∈N^*）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，x＞0，n∈N^*時(shí)，求證：[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的奇偶性，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用倒敘相加從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由已知得x＞0且${f^/}（x）=2x-{（-1）^k}•\frac{2}{x}$，
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，則f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，則${f^/}（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）由已知得，${f^/}（x）=2x+\frac{2}{x}$（x＞0），
所以左邊=${（2x+\frac{2}{x}）^n}-{2^{n-1}}•（2{x^n}+\frac{2}{x^n}）$
=${2^n}（C_n^1{x^{n-2}}+C_n^2{x^{n-4}}+…+C_n^{n-2}\frac{1}{{{x^{n-4}}}}+C_n^{n-1}\frac{1}{{{x^{n-2}}}}）$，
令S=$C_n^1{x^{n-2}}+C_n^2{x^{n-4}}+…+C_n^{n-2}\frac{1}{{{x^{n-4}}}}+C_n^{n-1}\frac{1}{{{x^{n-2}}}}$，
倒序相加得$2S=C_n^1（{x^{n-2}}+\frac{1}{{{x^{n-2}}}}）+C_n^2（{x^{n-4}}+\frac{1}{{{x^{n-4}}}}）+…+C_n^{n-2}（\frac{1}{{{x^{n-4}}}}+{x^{n-4}}）+C_n^{n-1}（\frac{1}{{{x^{n-2}}}}+{x^{n-2}}）$
≥2$（C_n^1+C_n^2+…+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}）$
=2（2ⁿ-2），可得S≥（2ⁿ-2），
所以：[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2），成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的證明，是一道中檔題．