Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2（e≈2.71，a∈R）．
（Ⅰ）判斷曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與曲線y=g（x）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)，若函數(shù)y=f（x）-g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線，與g（x）=-x²+ax-2聯(lián)立，利用根的判別式，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由y=0得a=x+

2

x

+lnx，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，確定其單調(diào)性，可得最值，即可確定a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，所以斜率k=f'（1）=1…（2分）
又f（1）=0，曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=x-1…（3分）
由

y=-x2+ax-2 y=x-1

⇒x2+(1-a)x+1=0…（4分）
由△=（1-a）²-4=a²-2a-3可知：
當(dāng)△＞0時(shí)，即a＜-1或a＞3時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)△=0時(shí)，即a=-1或a=3時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)△＜0時(shí)，即-1＜a＜3時(shí)，沒有公共點(diǎn)            …（7分）
（Ⅱ）y=f（x）-g（x）=x²-ax+2+xlnx，
由y=0得a=x+

2

x

+lnx…（8分）
令h(x)=x+

2

x

+lnx，
則 h′(x)=

(x-1)(x+2)

x2

當(dāng)x∈[

1

e

，e]，由  h'（x）=0得 x=1…（10分）
所以，h（x）在[

1

e

，1]上單調(diào)遞減，在[1，e]上單調(diào)遞增
因此，h_min（x）=h（1）=3…（11分）
由h(

1

e

)=

1

e

+2e-1，h(e)=e+

2

e

+1，
比較可知h(

1

e

)＞h(e)
所以，當(dāng)3＜a≤e+

2

e

+1時(shí)，函數(shù)y=f（x）-g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，屬于中檔題．