Question

一批旅游者決定分乘幾輛大汽車(chē)，要使每車(chē)有同樣的人數(shù)．起先，每車(chē)乘坐22人，可是發(fā)現(xiàn)這時(shí)有1人坐不上車(chē)．若是開(kāi)走一輛空車(chē)，那么所有的旅游者剛好平均分乘余下的汽車(chē)．問(wèn)原先有多少輛汽車(chē)和這批旅游者有多少人？（已知每輛汽車(chē)最多容納32人）

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)原先有k輛汽車(chē)，而開(kāi)走一輛空車(chē)后，留下的每車(chē)乘n人，可得旅游者人數(shù)，一輛空車(chē)開(kāi)走后，所有的旅游者的人數(shù)，從而可得n=

22k+1

k-1

=22+

23

k-1

，根據(jù)n是自然數(shù)，利用

23

k-1

必須是整數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)原先有k輛汽車(chē)，而開(kāi)走一輛空車(chē)后，留下的每車(chē)乘n人．不難發(fā)現(xiàn)k≥2，n≤32．
旅游者人數(shù)顯然等于22k+1，一輛空車(chē)開(kāi)走后，所有的旅游者為n（k-1）人．
所以22k+1=n（k-1）
由此n=

22k+1

k-1

=22+

23

k-1

，
因?yàn)閚是自然數(shù)，所以

23

k-1

必須是整數(shù)，
但23是素?cái)?shù)，又k≥2，因此k-1=1或k-1=23，
所以k=2或k=24．
如果k=2，那么n=45，不滿足題目的條件．
如果k=24，那么n=23，滿足題目的條件．
在這種情況下，旅游者的人數(shù)等于n（k-1）=23×23=529．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定22k+1=n（k-1）是解題的關(guān)鍵．