Question

有如下幾個命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形；
②函數(shù)y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）最小值為4；
③若等差數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，則三點（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S101

110

）共線；
④若a，b為正實數(shù)，代數(shù)式

a2

b2

+

b2

a2

-6(

a

b

+

b

a

)+10的值恒非負；
其中正確命題的個數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計算題

分析：①若sin2A=sin2B，則 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，可知①不正確．
②當x∈（0，π）時，由于0＜sinx≤1，從而函數(shù)y=sinx+

4

sinx

的最小值不能為4，可由基本不等式進行判斷；
③等差數(shù)列中

Sn

n

=a₁+（n-1）•

d

2

由此可判斷三點（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

）共線；
④設(shè)t=

a

b

+

b

a

，則t≥2，原代數(shù)式可化成關(guān)于t的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)探討它的值的情況．

解答： 解：①若sin2A=sin2B，則 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，
故△ABC為等腰三角形或直角三角形，故①不正確．
②當x∈（0，π）時，函數(shù)y=sinx+

4

sinx

≥2

sinx× 4 sinx

=4，但其等號成立的條件是sinx=2，這是不可能的，故它的最小值不為4，由于利用基本不等式求最值時等號成立的條件不具備，故此命題不成立；
③∵{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，依題意得，

Sn

n

=a₁+（n-1）•

d

2

，即為n的線性函數(shù)，故（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

）三點共線，故③正確；
④設(shè)t=

a

b

+

b

a

，則t≥2，

a2

b2

+

b2

a2

-6(

a

b

+

b

a

)+10=(

a

b

+

b

a

)2-2-6(

a

b

+

b

a

)+10=t²-6t+8=（t-3）²-1，
當t≥2時，（t-3）²-1的值不是恒非負，故錯．
故選B．

點評：本題考查復(fù)合命題的真假，解答本題關(guān)系是熟練掌握復(fù)合命題真假的判斷方法，此類題知識面廣，綜合性強，往往涉及多個方面的知識，平時注意積累知識，基礎(chǔ)知識掌握牢固有利于成功解答此類題．