Question

已知A，B，C為圓O上三點(diǎn)，線段CO的延長(zhǎng)線與線段AB有交點(diǎn)，若

OC

=m

OA

+n

OB

，則m+n的范圍是（　�。�

• A、（0，1）
• B、（1，+∞）
• C、（-1，0）
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：先利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，將

OC

=m

OA

+n

OB

兩邊平方，消去半徑得m、n的數(shù)量關(guān)系，再利用特殊值代入法排除B、D，利用向量加法的平行四邊形法則，可判斷m+n一定為負(fù)值，排除A，從而可得正確選項(xiàng)

解答： 解：∵A，B，C為圓O上三點(diǎn)，
∴設(shè)|

OC

|=|

OB

|=|

OA

|=1，
又∵

OC

=m

OA

+n

OB

，
∴

OC

²=（m

OA

+n

OB

）²=m²

OA

²+n²

OB

²+2mn

OA

•

OB

∴1=m²+n²+2mncos∠AOB
當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，m²+n²+mn=1，即（m+n）²-mn=1，即（m+n）²=1+mn＜1，
∴-1＜m+n＜1，排除 B、D
當(dāng)

OA

，

OB

趨近射線OD，由平行四邊形法則

OC

=

OE

+

OF

=m

OA

+n

OB

，
此時(shí)顯然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，
∴m+n＜0，排除A；
故選 D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量的幾何意義，平面向量加法的平行四邊形法則，平面向量基本定理，平面向量數(shù)量積運(yùn)算的綜合運(yùn)用，排除法解選擇題，難度較大