Question

集合M={1，2…9}中抽取3個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成集合{a₁，a₂，a₃}
（1）對(duì)任意i≠j，求滿足|a_i-a_j|≥2的概率；
（2）若a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，設(shè)公差為ξ（ξ＞0），求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等差數(shù)列的性質(zhì),古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）先求出M有9個(gè)元素，抽取3個(gè)元素的種數(shù)，在分類求出|a_i-a_j|≥2的種數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
（2）結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等差數(shù)列，寫(xiě)出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）M有9個(gè)元素，抽取3個(gè)元素，有

C

3 9

=84種，
對(duì)任意的i≠j，i，j∈{1 2 3} 滿足|ai-aj|≥2的取法：
①最小取1的：

C

2 6

=15種，
②最小取2的：

C

2 5

=10種，
③最小取3的：

C

2 4

=6種，
④最小取4的：

C

2 3

=3種，
⑤最小取5的：

C

2 2

=1種，
故共有15+10+6+3+1=35種，
故滿足|a_i-a_j|≥2的概率為

35

84

=

5

12

；
（2）∵若a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，設(shè)公差為ξ（ξ＞0），則ξ=1，2，3，4，
ξ=1即三個(gè)連續(xù)的數(shù)，有7種，ξ=2即三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)或偶數(shù)，有5種，．ξ=3，有（1，4，7），）2，5，8），（3，6，9）3種，ξ=4只有1種（1，5，9），
故成等差數(shù)列的一共有7+5+3+1=16．
則P（ξ=1）=

7

16

，則P（ξ=2）=

5

16

，則P（ξ=3）=

3

16

，P（ξ=4）=

1

16

，
分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	7 16	5 16	3 16	1 16

故E（（ξ）=1×

7

16

+2×

5

16

+3×

3

16

+4×

1

16

=

15

8

．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望，以及古典概型的概率，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．