設(shè)f(x)=-x3+x2+2ax.
(1)若f(x)在區(qū)間(
3
4
,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2ax+a有且只有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由f′(x)=-3x2+2x+2a,得存在x0∈(
3
4
,+∞)使f′(x0)>0,從而f′(
3
4
)>0,解出即可;
(2)由g′(x)=-3x2+2x,得x=0時g(x)有極小值=g(0)=a; x=
2
3
時g(x)有極大值=g(
2
3
)=a+
4
27
.從而g(0)=a>0,或g(
2
3
)=a+
4
27
<0.
解答: 解:(1)∵f′(x)=-3x2+2x+2a,
而f(x) 在區(qū)間(
3
4
,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間.
∴存在x0∈(
3
4
,+∞)使f′(x0)>0,
又二次函數(shù)f′(x)的對稱軸為x=
1
3
,
則f′(x)在(
3
4
,+∞)上遞減
∴f′(
3
4
)>0,
即-3×
9
16
+2×
3
4
+2a>0,
故a>
3
32

(2)∵g(x)=f(x)-2ax+a=-x3+x2+a,
∴g′(x)=-3x2+2x=x(-3x+2)
∴x∈(0,
2
3
)時g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
x∈(-∞,0)或(
2
3
,+∞)時g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.
∴x=0時g(x)有極小值=g(0)=a;
 x=
2
3
時g(x)有極大值=g(
2
3
)=a+
4
27

∵函數(shù)g(x)=f(x)-2ax+a有且只有一個零點,
∴g(0)=a>0,或g(
2
3
)=a+
4
27
<0
故:a<-
4
27
 或a>0.
點評:本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道綜合題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x
5
3
sin
1
x
,x≠0
0,x=0
在x=0處f(x)(  )
A、不連續(xù)
B、連續(xù),但不可導(dǎo)
C、可導(dǎo),但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)
D、可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)連續(xù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦點F(-c,0)作圓x2+y2=a2的切線,切點為E,延長FE交拋物線y2=4cx于點P,O為原點,若|FE|=|EP|,則雙曲線離心率為( 。
A、
1+
5
2
B、
1+
3
2
C、
4
2
-2
7
D、
4
2
+2
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
(a+1)x2+ax
(1)a=-1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)a>0,x≥0,若f(x)>-
2
3
a恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=1,E,F(xiàn)分別是PB,PC的中點.
(Ⅰ)求證:AE⊥PC;
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(1)對任意i≠j,求滿足|ai-aj|≥2的概率;
(2)若a1,a2,a3成等差數(shù)列,設(shè)公差為ξ(ξ>0),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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關(guān)于x的方程2x2+3ax+a2-a=0(a∈R)至少有一個模為1的根,求實數(shù)a的值.

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MP
NQ

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π
12
時,求
PQ
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(2)當(dāng)點P在上半圓上運動時,求函數(shù)f(x)的表達式;
(3)若函數(shù)f(x)最大值為g(a),求g(a).

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