Question

 如圖,一顆棋子從三棱柱的一個(gè)頂點(diǎn)沿棱移到相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)的概率均為,剛開始時(shí),棋子在上底面點(diǎn)A處,若移了n次后,棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率記為pn.

(1) 求p1,p2的值;

(2) 求證:>.

Answer 1

(1) p1=,p2=×+×=.

(2) 因?yàn)橐屏薾次后棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率為pn,故落在下底面頂點(diǎn)的概率為1-pn.于是移了(n+1)次后棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率為=pn+(1-pn)=pn+.

從而-=.

所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,公比為.

所以pn-=×,即pn=+×.

用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)n=1時(shí),左式==,右式=,因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/11/13/04/2014111304505093070101.files/image074.gif'>>,所以不等式成立.

當(dāng)n=2時(shí),左式=+=,右式=,因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/11/13/04/2014111304505093070101.files/image076.gif'>>,所以不等式成立.

②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí),不等式成立,即>.

則n=k+1時(shí),左式=+>+=+.

要證+≥,只要證≥-,

只要證≥,只要證≤,

只要證3k+1≥2k2+6k+2.

因?yàn)閗≥2,

所以3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+4)=6k2+3=2k2+6k+2+2k(2k-3)+1>2k2+6k+2,

所以+≥.

即n=k+1時(shí),不等式也成立.

由①②可知,不等式>對任意的n∈N*都成立.