【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).

(1)若,求函數(shù)的極值;

(2)若函數(shù)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若,設(shè)函數(shù)上的極值點(diǎn)為,求證: .

【答案】(1)當(dāng)時(shí), 的極大值為,無極小值;(2) ;(3)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化得到函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得到函數(shù)的極值;(2)求導(dǎo),將函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)非負(fù)恒成立,分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題;(3)連續(xù)兩次求導(dǎo),分別通過研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化研究函數(shù)的極值,再作差構(gòu)造函數(shù),將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,再利用求導(dǎo)進(jìn)行求解.

試題解析:(1)當(dāng)時(shí), ,定義域?yàn)?/span>,

,令,得.

極大值

當(dāng)時(shí), 的極大值為,無極小值.

(2),由題意恒成立.

, ,

恒成立,

恒成立.

, ,則

①若,即,則恒成立,

上單調(diào)遞減,

, , 矛盾,舍去;

②若,即,令,得,

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),

.綜上.

(3)當(dāng)時(shí), ,

, ,

,令,得,

①當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減, ,

恒成立, 單調(diào)遞減,且.

②當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增,

,

存在唯一,使得, ,

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減,且,

由①和②可知, 單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí), 取極大值.

,

, , .

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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