Question

小波以游戲方式決定：是去打球、唱歌還是去下棋．游戲規(guī)則為：以O為起點，再從A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆（如圖）這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X，若X＞0就去打球；若X=0就去唱歌；若X＜0就去下棋．
（Ⅰ）分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
（Ⅱ）寫出數(shù)量積X的所有可能取值，并求X分布列與數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由題設求出X的所有可能取值的種數(shù)，對取出兩個向量的數(shù)量積進行計算，求出X的所有可能取值，找出X＜0的次數(shù)，用古典概型的概率能求出小波去下棋的概率；再找出X=0的次數(shù)，先求出小波去唱歌的概率，由對立事件的概率求法能求出小波不去唱歌的概率．
（Ⅱ）由題設知X的所有可能取值為-2，-1，0，1，分別求出P（X=-2），P（X=-1），P（X=0），P（X=1），由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）由題設知X的所有可能取值，
即從

OA1

，

OA2

，

OA3

，

OA4

，

OA5

，

OA6

這六個向量中任取兩個，
共有

C

2 6

=15種．…（1分）
如下表：

OAi • OAj	OA1	OA2	OA3	OA4	OA5	OA6
OA1		1	0	0	-1	-1
OA2			1	-1	-2	-1
OA3				-1	-1	0
OA4					1	0
OA5						1
OA 6

而對取出兩個向量的數(shù)量積進行計算，
得到X的所有可能取值為-2，-1，0，1，…（3分）
求小波去下棋的概率，這是古典概型，
只需找出總的事件數(shù)有

C

2 6

種，
∵X＜0就去下棋，只需在上表計算結果中，找出小于零的次數(shù)為7，…（4分）
有古典概型的概率求法知：小波去下棋的概率為P₁=

7

15

，…（5分）
小波不去唱歌的概率，它的對立事件為，去唱歌，而X=0就去唱歌，
在上表中，X=0共有四次，故去唱歌的概率為P₂=

4

15

，
有對立事件的概率求法知：小波不去唱歌的概率P=1-P₂=1-

4

15

=

11

15

．…（6分）
（Ⅱ）由上表可知X的所有可能取值為-2，-1，0，1，
數(shù)量積為-2的只有一種，數(shù)量積為-1的有六種，數(shù)量積為0的有四種，數(shù)量積為1的有四種，
所有可能的情況共有15種．
∴P（X=-2）=

1

15

，
P（X=-1）=

6

15

=

2

5

，
P（X=0）=

4

15

，
P（X=1）=

4

15

．（每個1分）       （4分）
∴X的分布列為：

X	-2	-1	0	1
P	1 15	2 5	4 15	4 15

（5分）
EX=-2×

1

15

+(-1)×

2

5

+0×

4

15

+1×

4

15

=-

4

15

．（6分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是歷年高考的必考題型之一，解題時要注意排列組合知識的合理運用，是中檔題．