Question

已知函數f（x）=e^x+2x²-3x
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f （1））處的切線方程；
（Ⅱ） 當x≥1時，若關于x的不等式f （x）≥ax恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，進一步求得f′（1），再求出f（1）后由直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）由f （x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，分離參數a后構造函數g(x)=

ex+2x2-3x

x

，利用導數求其最小值后得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+2x²-3x，得
f'（x）=e^x+4x-3，則f′（1）=e+1，
又f （1）=e-1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f （1））處的切線方程為：
y-e+1=（e+1）（x-1），
即：（e+1）x-y-2=0；
（Ⅱ）由f （x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，
∵x≥1，
∴a≤

ex+2x2-3x

x

令g(x)=

ex+2x2-3x

x

，則g′(x)=

(x-1)ex+2x2

x2

，
∵x≥1，
∴g'（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴g（x）_min=g（1）=e-1，
∴a的取值范圍是a≤e-1．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點的切線方程，考查了利用導數求函數的最小值，訓練了分離變量法求參數的取值范圍，是中檔題．