Question

已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與直線l₁：x-y-2

2

=0相切．
（1）求直線l₂：4x-3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長；
（2）若與直線l₁垂直的直線與圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線的縱截距；
（3）過點(diǎn)G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點(diǎn)分別為M，N，求直線MN的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）先求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求直線l₂：4x-3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長；
（2）設(shè)直線的方程為：y=-x+b聯(lián)立x²+y²=4，利用x1x 2+y1y2=2x1x 2-b(x1+x2)+b2=0，即可求直線的縱截距；
（3）求出以G點(diǎn)為圓心，線段GM長為半徑的圓G方程，與圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程相減，即可求直線MN的方程．

解答： 解：（1）由題意得：圓心（0，0）到直線l1：x-y-2

2

=0的距離為圓的半徑，r=

2 2

2

=2，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+y²=4（2分）
所以圓心到直線l₂的距離d=

22-3

=1（3分）
∴|AB|=2

22-12

=2

3

（4分）
（2）設(shè)直線的方程為：y=-x+b聯(lián)立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
設(shè)直線與圓的交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，x1+x2=b，x1•x2=

b2-4

2

①（10分）
因?yàn)镺P⊥OQ，所以

OP

•

OQ

=0，即滿足x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
所以x1x 2+y1y2=2x1x 2-b(x1+x2)+b2=0②
由①②得b²=4，滿足△＞0，即b=2或-2（9分）
（3）因?yàn)辄c(diǎn)G（1，3），所以|OG|=

12+32

=

10

，|GM|=

OG2-OM2

=

6

所以以G點(diǎn)為圓心，線段GM長為半徑的圓G方程：（x-1）²+（y-3）²=6③
又圓C方程為：x²+y²=4④，由③-④得直線MN方程：x+3y-4=0（14分）

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．