Question

若以F為右焦點的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左支上存在一點P，使得線段PF被y=

b

a

x垂直平分，則雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)F（c，0），P（m，n），運用點關(guān)于直線對稱的特點，由中點坐標(biāo)公式和垂直的條件解得m，n，代入雙曲線方程，化簡整理，結(jié)合離心率公式計算即可得到．

解答： 解：設(shè)F（c，0），P（m，n），
則

n-0

m-c

=-

a

b

，且

1

2

n=

1

2

•

b

a

（c+m），
解得m=

a2-b2

c

，n=

2ab

c

．
將P（

a2-b2

c

，

2ab

c

）代入雙曲線方程，

(a2-b2)2

c2a2

-

4a2

c2

=1，b²=c²-a²．
化簡整理可得，c²=5a²，
e=

c

a

=

5

．
故答案為：

5

．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．