Question

【題目】已知橢圓Γ：+=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為．

（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過P（1，0）作動(dòng)直線AB交橢圓Γ于A，B兩點(diǎn)，Q（4，3）為平面上一定點(diǎn)連接QA，QB，設(shè)直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，問k1+k2是否為定值，如果是，則求出該定值；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)+=1 (2)見解析

【解析】

（1）依題意2a=4，a=2，e==，則c=，由橢圓的幾何性質(zhì)可得b的值，代入橢圓的方程即可得答案；

（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線與橢圓的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得k1+k2的值，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求出A、B的坐標(biāo)，計(jì)算可得k1+k2的值，綜合即可得答案．

（1）依題意2a=4，a=2，e==，則c=，則b2=a2-c2=2，

∴橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1．

（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=k（x-1），

與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），

由，消y整理可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-4=0，顯然△＞0，

∴x1+x2=，x1x2=，

從而k1+k2=+=+=k++k+，

=2k+（3k-3）（+），

=2k+（3k-3），

=2k+（3k-3），

=2k+（3k-3）（-）=2，

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，A（1，），B（1，-），則k1+k2=+=2，

綜上所述k1+k2=2．