Question

16．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程，并說明其表示什么軌跡．
（2）若直線的極坐標(biāo)方程為sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$，求直線被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）由sin²α+cos²α=1，能求出曲線C的普通方程，再由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C的極坐標(biāo)方程，由此得到曲線C是以（3，1）為圓心，以$\sqrt{10}$為半徑的圓．
（2）先求出直線的直角坐標(biāo)為x-y+1=0，再求出圓心C（3，1）到直線x-y+1=0的距離d，由此能求出直線被曲線C截得的弦長．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴由sin²α+cos²α=1，
得曲線C的普通方程為（x-3）²+（y-1）²=10，
即x²+y²=6x+2y，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=6ρcosθ+2ρsinθ，
即ρ=6cosθ+2sinθ，
它是以（3，1）為圓心，以$\sqrt{10}$為半徑的圓．
（2）∵直線的極坐標(biāo)方程為sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$，
∴ρsinθ-ρcosθ=1，
∴直線的直角坐標(biāo)為x-y+1=0，
∵曲線C是以（3，1）為圓心，以r=$\sqrt{10}$為半徑的圓，
圓心C（3，1）到直線x-y+1=0的距離d=$\frac{|3-1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴直線被曲線C截得的弦長|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-uvu57lu^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{22}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查直線被圓截得的弦長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程互化公式的合理運(yùn)用．