Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為直角梯形，

，平面底面，為的中點(diǎn)，為正三角形，是棱上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn)).

（Ⅰ）若為中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為30°.若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）為棱上靠近端點(diǎn)的四等分點(diǎn)，證明見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由已知條件可得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而，即得平面；（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出，進(jìn)而得到存在點(diǎn)滿足，且為棱上靠近端點(diǎn)的四等分點(diǎn).

試題解析：(Ⅰ)證明：如圖，連接交與點(diǎn)，連接

由題意知且，故四邊形為平行四邊形

∴為中點(diǎn)

∴在中，又由為中點(diǎn)有：

又面，面

∴平面.

（Ⅱ）連接，則由題意易知平面

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

設(shè)，則

∴

記平面的法向量，平面的法向量，

則由有

令可得

又由有，即

故存在點(diǎn)滿足，且為棱上靠近端點(diǎn)的四等分點(diǎn).

（其它方法酌情給分）.