Question

14．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為CC₁的中點．
（1）求證：BD⊥A₁M；
（2）求證：平面A₁BD⊥平面MBD．

Answer 1

分析 （1）設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BD⊥A₁M．
（2）求出平面A₁BD的法向量和設平面MBD的法向量，由兩平面的法向量的數(shù)量積為0，能證明平面A₁BD⊥平面MBD．

解答 （1）證明：設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則B（2，2，0），D（0，0，0），A₁（2，0，2），M（0，2，1），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-2，2，-1），
∴$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{{A}_{1}M}$=-4+4+0=0，
∴BD⊥A₁M．
（2）$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DM}$=（0，2，1），
設平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
設平面MBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=2b+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2）
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1+1-2=0，
∴平面A₁BD⊥平面MBD．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查兩平面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．