Question

4．若函數(shù)f（x）=$\sqrt{5}$sin（2x+φ）對(duì)任意x都有f（$\frac{π}{3}$-x）=f（$\frac{π}{3}$+x）．
（1）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（2）求φ的最小正值；
（3）當(dāng)φ取最小正值時(shí)，若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，故有f（$\frac{π}{3}$）=±$\sqrt{5}$．
（2）根據(jù)f（0）=f（$\frac{2π}{3}$），可得$\sqrt{5}$sinφ=$\sqrt{5}$sin（$\frac{4π}{3}$+φ），即 φ=2kπ+$\frac{4π}{3}$+φ，或φ=2kπ+π+$\frac{4π}{3}$+φ，k∈Z，由此求得φ的最小正值．
（3）當(dāng)φ取最小正值時(shí)，f（x）=$\sqrt{5}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），再根據(jù) x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得正弦函數(shù)的最值，可得f（x）的最值．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=$\sqrt{5}$sin（2x+φ）對(duì)任意x都有f（$\frac{π}{3}$-x）=f（$\frac{π}{3}$+x），
故f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，故有f（$\frac{π}{3}$）=±$\sqrt{5}$．
（2）由f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，可得f（0）=f（$\frac{2π}{3}$），即 $\sqrt{5}$sinφ=$\sqrt{5}$sin（$\frac{4π}{3}$+φ），
即 φ=2kπ+$\frac{4π}{3}$+φ，或φ=2kπ+π+$\frac{4π}{3}$+φ，k∈Z，
由此求得φ的最小正值為$\frac{π}{3}$．
（3）當(dāng)φ取最小正值時(shí)，f（x）=$\sqrt{5}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
f（x）=$\sqrt{5}$sin（2x+φ）∈[0，$\sqrt{5}$]，
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=0時(shí)，f（x）取得最小值為0，當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$ 時(shí)，f（x）取得最大值為$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．