【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,底面ABC,,H為PC的中點,M為AH的中點,.
(1)求PM與平面AHB成角的正弦值;
(2)在線段PB上是否存在點N,使得平面ABC.若存在,請說明點N的位置,若不存在,請說明理由.
【答案】(1) (2)存在,N靠近點B的四等分點
【解析】
(1)在平面ABC中,過點A作,以A為原點,建立空間直角坐標系,先求平面的法向量,再根據(jù)公式求解;
(2)利用,表示點的坐標,再利用,求點的坐標.
(1)解:在平面ABC中,過點A作,
因為平面PAC,所以平面PAC,
由底面ABC,得PA,AC,AD兩兩垂直,
所以以A為原點,AD,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸如圖建立空間直角坐標系,
則,
設平面AHB的法向量為,
因為,.
由,得,
令,得.
設PM與平面AHB成角,因為,
所以
即.
(2)解:因為,設,
所以,又因為,
所以.
因為平面ABC,平面ABC的法向量,
所以,解得.
即點N是靠近點B的四等分點.
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【題目】已知函數(shù)在處取得極小值.
(1)求實數(shù)的值;
(2)若函數(shù)存在極大值與極小值,且函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.(參考數(shù)據(jù):,)
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【題目】在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=2,c=3,又知bsinA=acos(B).
(Ⅰ)求角B的大小、b邊的長:
(Ⅱ)求sin(2A﹣B)的值.
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【題目】已知橢圓:的離心率,是橢圓上的動點,且點到橢圓焦點的距離的最小值為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的右焦點的直線交橢圓于,兩點,當時,求面積的最大值.
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【題目】某水果種植基地引進一種新水果品種,經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)該水果每株的產量(單位:)和與它“相近”的株數(shù)具有線性相關關系(兩株作物“相近”是指它們的直線距離不超過),并分別記錄了相近株數(shù)為0,1,2,3,4時每株產量的相關數(shù)據(jù)如下:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
(1)求出該種水果每株的產量關于它“相近”株數(shù)的回歸方程;
(2)有一種植戶準備種植該種水果500株,且每株與它“相近”的株數(shù)都為,計劃收獲后能全部售出,價格為10元,如果收入(收入=產量×價格)不低于25000元,則的最大值是多少?
(3)該種植基地在如圖所示的直角梯形地塊的每個交叉點(直線的交點)處都種了一株該種水果,其中每個小正方形的邊長和直角三角形的直角邊長都為,已知該梯形地塊周邊無其他樹木影響,若從所種的該水果中隨機選取一株,試根據(jù)(1)中的回歸方程,預測它的產量的分布列與數(shù)學期望.
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,.
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【題目】如圖,幾何體中,,均為邊長為2的正三角形,且平面平面,四邊形為正方形.
(1)若平面平面,求證:平面平面;
(2)若二面角為,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知拋物線C:()的焦點F在直線上,平行于x軸的兩條直線,分別交拋物線C于A,B兩點,交該拋物線的準線于D,E兩點.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若F在線段上,P是的中點,證明:.
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【題目】某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展,居民收入逐年增長,下表是該地一建設銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額),如下表1:
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
儲蓄存款y(千億元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
為了研究計算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理, 得到下表2:
時間代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(Ⅰ)求z關于t的線性回歸方程;
(Ⅱ)通過(Ⅰ)中的方程,求出y關于x的回歸方程;
(Ⅲ)用所求回歸方程預測到2020年年底,該地儲蓄存款額可達多少?
(附:對于線性回歸方程,其中)
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