Question

【題目】如圖，已知四邊形和均為平行四邊形，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好為點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)， ， 的中點(diǎn)為， 的中點(diǎn)為，且．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求幾何體的體積．　

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明過程見解析；（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）此問題是要證面面垂直，由其判定定理，可根據(jù)“面面垂直線面垂直線線垂直”的思路去證明，根據(jù)題意可考慮與平面中的垂直；（Ⅱ）根據(jù)題意，將幾何體分割成三棱錐和四棱錐兩個(gè)幾何體，再進(jìn)行求解即可.

試題解析：（Ⅰ）∵點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好為點(diǎn)，∴平面，

又平面，∴平面平面．

又以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)， ， ，∴為正方形．

又平面平面，∴平面．

∵平面， ，

又，∴，

又的中點(diǎn)為，∴，

∵，∴，

又平面， 平面， ，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（Ⅱ）連接，由（Ⅰ）知， 平面，∴．

又， ，

∴平面，

又，∴平面．

∴．

∴幾何體的體積為4．