Question

【題目】已知拋物線的焦點為，過的直線交軸正半軸于點，交拋物線于兩點，其中點在第一象限.

（Ⅰ）求證：以線段為直徑的圓與軸相切；

（Ⅱ）若,,，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析； （Ⅱ） .

【解析】

試題（Ⅰ）題意實質(zhì)上證明線段的中點到軸的距離等于線段長的一半，根據(jù)拋物線的定義設(shè)可證得；（Ⅱ）同樣設(shè)，，把已知,用坐標表示出來，消去坐標及，得出與的關(guān)系，此時就可得出的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）由已知,設(shè)，則，

圓心坐標為，圓心到軸的距離為，

圓的半徑為，

所以，以線段為直徑的圓與軸相切．

（Ⅱ）解法一：設(shè)，由,,得

，，

所以，

，

由，得．

又，，

所以．

代入，得，，

整理得，

代入，得，

所以，

因為，所以的取值范圍是．

解法二：設(shè)，，

將代入，得，

所以（*），

由，，得

，，

所以，，

，

將代入（*）式，得，

所以，．

代入，得．

因為，所以的取值范圍是．