Question

【題目】在某次水下考古活動(dòng)中,需要潛水員潛入水深為30米的水底進(jìn)行作業(yè).其用氧量包含3個(gè)方面:①下潛時(shí),平均速度為（米/單位時(shí)間）,單位時(shí)間內(nèi)用氧量為（為正常數(shù)）;②在水底作業(yè)需5個(gè)單位時(shí)間,每個(gè)單位時(shí)間用氧量為0.4;③返回水面時(shí),平均速度為（米/單位時(shí)間）, 單位時(shí)間用氧量為0.2.記該潛水員在此次考古活動(dòng)中,總用氧量為.

（1）將表示為的函數(shù);

（2）設(shè)0<≤5,試確定下潛速度,使總的用氧量最少.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當(dāng)時(shí)，下潛速度為時(shí)，用氧量最小值為；

當(dāng)時(shí)，，下潛速度為5時(shí)，用氧量最小值為

【解析】

試題分析:本題考查函數(shù)建模與求函數(shù)最值相關(guān)問題．（1）根據(jù)實(shí)際意義，列出在各個(gè)階段的用氧量相加即可求出函數(shù)解析式；（2）由函數(shù)解析式，得用基本不等式和導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．

試題解析：（1）潛入水底用時(shí)，用氧量為，

水底作業(yè)用氧量為

返回水面用時(shí)，用氧量為

所以．

（2）

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)即時(shí)，時(shí)，的最小值為．

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，

因此函數(shù)在上是減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．

綜上，當(dāng)時(shí)，下潛速度為時(shí)，用氧量最小值為；

當(dāng)時(shí)，，下潛速度為5時(shí)，用氧量最小值為．

考點(diǎn):實(shí)際應(yīng)用，函數(shù)建模，求函數(shù)最值，基本不等式．