Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，g（x）=x•e^x+a
（1）若對于任意的實數(shù)x，都有f（x）≥1，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令F（x）=[g（x）-f（x）]，且實數(shù)a≠0，若函數(shù)F（x）存在兩個極值點x₁，x₂，證明：0＜e²F（x₁）＜4且0＜e²F（x₂）＜4．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可；
（2）求出函數(shù)f（x）存在兩個極值的等價條件，求出a的取值范圍，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由題：f′（x）=e^x+a，且x∈R，
①當(dāng)a=0時，f（x）=e^x，x∈（-∞，0）時，f（x）∈（0，1），不滿足條件；
②當(dāng)a＞0時，f′（x）=e^x+a＞0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，
令b＜-1且b＜lna，∴f（b）=e^b+ab＜e^lna+ab=a（1+b）＜0，
∴f（x）≥1不恒成立，∴a＞0不滿足條件；
③當(dāng)a＜0時，令f（x）=0，得x=ln（-a），
當(dāng)x∈（-∞，ln（-a））時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（ln（-a），+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）_min=f（ln（-a））=aln（-a）-a，
由題aln（-a）-a≥1，即：aln（-a）-a-1≥0，
令φ（a）=aln（-a）-a-1，且a＜0，則φ′（a）=ln（-a），φ′（-1）=0，
當(dāng)a∈（-∞，-1）時，φ′（a）＞0，φ（a）單調(diào)遞增；
當(dāng)a∈（-1，0）時，φ′（a）＜0，φ（a）單調(diào)遞減；
∴φ（a）_max=φ（-1）=0，∴只有a=-1滿足條件；
綜上：實數(shù)a的取值范圍為{-1}                 
（2）證明：依題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=a[e^x-a+（x-1）e^x]=a（xe^x-a），
當(dāng)a＞0時，由f′（x）=0，得xe^x=a，即e^x=$\frac{a}{x}$，
作出函數(shù)y=e^x和y=$\frac{a}{x}$的圖象，

則兩個函數(shù)的圖象有且只有1個交點，
即函數(shù)f（x）有且只有一個極值點；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）有且只有一個極值點；不滿足條件，
則a＜0，
∵f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，
∴x₁，x₂，是h（x）=f′（x）=a（xe^x-a）的兩個零點，
令h′（x）=a（x+1）e^x=0，得x=-1，
令h′（x）＞0得x＜-1，
令h′（x）＜0得x＞-1，
∴h（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)，在[-1，+∞）上是減函數(shù)，
∵h(yuǎn)（0）=f′（0）=-a²＜0，∴必有x₁＜-1＜x₂＜0．
令f′（t）=a（te^t-a）=0，得a=te^t，
此時f（t）=a（t-1）（e^t-a）=te^t（t-1）（e^t-te^t）=-e^2tt（t-1）²=-e^2t（t³-2t²+t），
∵x₁，x₂，是h（x）=f′（x）=a（xe^x-a）的兩個零點，
∴f（x₁）=-e 2x1（x₁³-2x₁²+x₁），f（x₂）=-e 2x2（x₂³-2x₂²+x₂），
將代數(shù)式-e^2t（t³-2t²+t）看作以t為變量的函數(shù)g（t）=-e^2t（t³-2t²+t）．
g′（t）=-e^2t（t²-1）（2t-1），
當(dāng)t＜-1時，g′（t）=-e^2t（t²-1）（2t-1）＞0，
則g′（t）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，
∵x₁＜-1，∴f（x₁）=g（x₁）＜g（-1）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
∵f（x₁）=-e 2x1x₁（x₁-1）²＞0，
∴0＜f（x₁）＜$\frac{4}{{e}^{2}}$，
當(dāng)-1＜t＜0時，g′（t）=-e^2t（t²-1）（2t-1）＜0，
則g′（t）在（-1，0）上單調(diào)遞減，
∵-1＜x₂＜0，∴0=g（0）=g（x₂）=f（x₂）＜g（-1）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
綜上，0＜f（x₁）＜$\frac{4}{{e}^{2}}$且0＜f（x₂）＜$\frac{4}{{e}^{2}}$，
即0＜e²F（x₁）＜4且0＜e²F（x₂）＜4．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．