Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分別是棱AD，PC的中點(diǎn)
（1）求證：EF⊥平面PBC
（2）若直線PC與平面ABCD所成角為 ，點(diǎn)P在AB上的射影O在靠近點(diǎn)B的一側(cè)，求二面角P﹣EF﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PB的中點(diǎn)G，連接AQ，F(xiàn)G，

∵PA=AB，∴AG⊥PB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，

∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥AG，

∵PB∩BC=B，

∴AG⊥平面PBC

∵E、F分別是棱AD，PC的中點(diǎn)，

∴FG∥AE，F(xiàn)G=AE，

∴四邊形AEFG是平行四邊形，

∴EF∥AG，

∴EF⊥平面PBC

（2）解：作PO⊥AB=0，則PO⊥平面ABCD，

連接OC，則∠PCO= ，

∴PO=OC，設(shè)AO=x，則 = ，解得x=2，

以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則P（0，0， ），A（﹣2，0，0），C（1，2，0），

D（﹣2，2，0），E（﹣2，1，0），F(xiàn)（ ），

，，

設(shè)平面PEF的法向量 ，

則 ，取x=1，得 =（1，﹣3，﹣ ），

設(shè)平面AEF的法向量 ，

∵ ，

∴ ，取a=1，得 ，

設(shè)二面角P﹣EF﹣A的平面角為α，

則cosα=|coss＜ ＞|=| |= ．

∴二面角P﹣EF﹣A的余弦值為 ．

【解析】（1）取PB的中點(diǎn)G，連接AQ，F(xiàn)G，則AG⊥PB，BC⊥AB，從而BC⊥平面PAB，BC⊥AG，由此能證明EF⊥平面PBC．（2）作PO⊥AB=0，連接OC，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P﹣EF﹣A的余弦值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．