【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形,平面PAB⊥平面ABCD,PA=AB=3,BC=2,E、F分別是棱AD,PC的中點
(1)求證:EF⊥平面PBC
(2)若直線PC與平面ABCD所成角為 ,點P在AB上的射影O在靠近點B的一側(cè),求二面角P﹣EF﹣A的余弦值.

【答案】
(1)證明:取PB的中點G,連接AQ,F(xiàn)G,

∵PA=AB,∴AG⊥PB,

∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,BC⊥AB,

∴BC⊥平面PAB,

∴BC⊥AG,

∵PB∩BC=B,

∴AG⊥平面PBC

∵E、F分別是棱AD,PC的中點,

∴FG∥AE,F(xiàn)G=AE,

∴四邊形AEFG是平行四邊形,

∴EF∥AG,

∴EF⊥平面PBC


(2)解:作PO⊥AB=0,則PO⊥平面ABCD,

連接OC,則∠PCO= ,

∴PO=OC,設(shè)AO=x,則 = ,解得x=2,

以O(shè)為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0, ),A(﹣2,0,0),C(1,2,0),

D(﹣2,2,0),E(﹣2,1,0),F(xiàn)( ),

,,

設(shè)平面PEF的法向量 ,

,取x=1,得 =(1,﹣3,﹣ ),

設(shè)平面AEF的法向量 ,

,

,取a=1,得 ,

設(shè)二面角P﹣EF﹣A的平面角為α,

則cosα=|coss< >|=| |=

∴二面角P﹣EF﹣A的余弦值為


【解析】(1)取PB的中點G,連接AQ,F(xiàn)G,則AG⊥PB,BC⊥AB,從而BC⊥平面PAB,BC⊥AG,由此能證明EF⊥平面PBC.(2)作PO⊥AB=0,連接OC,以O(shè)為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角P﹣EF﹣A的余弦值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則

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B.4
C.3
D.2

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(Ⅰ)請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;

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B.2
C.1
D.0

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