Question

4．已知函數(shù)y=f（x）的圖象與g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）的圖象關(guān)于x軸對稱，且g（x）的圖象過（4，2）點(diǎn)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x-1）＞f（5-x），求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把點(diǎn)（4，2）代入g（x）的解析式求出a，再根據(jù)條件求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、真數(shù)大于零列出不等式組，求出解集即可．

解答 解：（Ⅰ）∵g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）的圖象過點(diǎn)（4，2），
∴l(xiāng)og_a4=2，a=2，則g（x）=log₂x．…（2分）
∵函數(shù)y=f（x）的圖象與g（X）的圖象關(guān)于x軸對稱，
∴$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}x$．…（5分）
（Ⅱ）∵f（x-1）＞f（5-x），
∴${log_{\frac{1}{2}}}（{x-1′}）＞{log_{\frac{1}{2}}}（{5-x}）$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{5-x＞0}\\{x-1＜5-x}\end{array}}\right.$，解得1＜x＜3，
所以x的取值范圍為（1，3）…（12分）

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，注意真數(shù)大于零，屬于基礎(chǔ)題．