Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長與底面邊長都等于1，A₁在底面ABC上的射影D為BC的中點(diǎn)，則側(cè)棱AA₁與底面ABC所成角的大小為

 

，此三棱柱的體積為

 

．

Answer 1

分析：由題意可得A₁D⊥平面ABC 從而可得∠A₁AD即為直線與平面所成的角在Rt△A₁AD中cos∠A1AD= 

AD

AA1

，從而可求；而S△ABC=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，棱柱的高AD=

1

2

，代入柱體體積公式可求

解答：解：由題意可得A₁D⊥平面ABC∴∠A₁AD即為直線與平面所成的角
在Rt△A₁AD中，AA₁=1，AD=

3

2

，A1D=

1

2

∴cos∠A1AD= 

AD

AA1

=

3

2

∴∠A1AD=

π

6

即直線AA₁與平面ABC所成的角為

π

6

∵S△ABC=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

∴VABC-A1B1C1=

3

4

×

1

2

=

3

8

故答案為：

π

6

，  

3

8

．

點(diǎn)評：直線與平面所成的角的求解是立體幾何中最基本的試題類型，解決的關(guān)鍵是先找出已知平面的垂線，然后找出所要求解的角，進(jìn)而在直角三角形中進(jìn)行求解，而柱體體積公式的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)試題．