【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ex , 其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);
(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤ex+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)已知正數(shù)a滿足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,試比較ea1與ae1的大小,并證明你的結(jié)論.

【答案】
(1)證明:∵f(x)=ex+ex

∴f(﹣x)=ex+ex=f(x),即函數(shù):f(x)是R上的偶函數(shù)


(2)解:若關(guān)于x的不等式mf(x)≤ex+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,

即m(ex+ex﹣1)≤ex﹣1,

∵x>0,

∴ex+ex﹣1>0,

即m≤ 在(0,+∞)上恒成立,

設(shè)t=ex,(t>1),則m≤ 在(1,+∞)上恒成立,

=﹣ =﹣ ,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立,

∴m


(3)解:令g(x)=ex+ex﹣a(﹣x3+3x),

則g′(x)=ex﹣ex+3a(x2﹣1),

當(dāng)x>1,g′(x)>0,即函數(shù)g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,

故此時(shí)g(x)的最小值g(1)=e+ ﹣2a,

由于存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,

故e+ ﹣2a<0,

即a> (e+ ),

令h(x)=x﹣(e﹣1)lnx﹣1,

則h′(x)=1﹣ ,

由h′(x)=1﹣ =0,解得x=e﹣1,

當(dāng)0<x<e﹣1時(shí),h′(x)<0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,

當(dāng)x>e﹣1時(shí),h′(x)>0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,

∴h(x)在(0,+∞)上的最小值為h(e﹣1),

注意到h(1)=h(e)=0,

∴當(dāng)x∈(1,e﹣1)(0,e﹣1)時(shí),h(e﹣1)≤h(x)<h(1)=0,

當(dāng)x∈(e﹣1,e)(e﹣1,+∞)時(shí),h(x)<h(e)=0,

∴h(x)<0,對(duì)任意的x∈(1,e)成立.

①a∈( (e+ ),e)(1,e)時(shí),h(a)<0,即a﹣1<(e﹣1)lna,從而ea1<ae1

②當(dāng)a=e時(shí),ae1=ea1,

③當(dāng)a∈(e,+∞)(e﹣1,+∞)時(shí),當(dāng)a>e﹣1時(shí),h(a)>h(e)=0,即a﹣1>(e﹣1)lna,從而ea1>ae1


【解析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f(x)是R上的偶函數(shù);(2)利用參數(shù)分離法,將不等式mf(x)≤ex+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值問(wèn)題即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)構(gòu)u造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,最值與單調(diào)性之間的關(guān)系,分別進(jìn)行討論即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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表1

成績(jī)
性別

不及格

及格

總計(jì)

6

14

20

10

22

32

總計(jì)

16

36

52

表2

視力
性別

總計(jì)

4

16

20

12

20

32

總計(jì)

16

36

52

表3

智商
性別

偏高

正常

總計(jì)

8

12

20

8

24

32

總計(jì)

16

36

52

表4

閱讀量
性別

豐富

不豐富

總計(jì)

14

6

20

2

30

32

總計(jì)

16

36

52


A.成績(jī)
B.視力
C.智商
D.閱讀量

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