Question

【題目】已知函數(shù)f0（x）= （x＞0），設(shè)fn（x）為fn﹣1（x）的導(dǎo)數(shù)，n∈N* ．
（1）求2f1（ ）+ f2（ ）的值；
（2）證明：對任意n∈N* ， 等式|nfn﹣1（ ）+ fn（ ）|= 都成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f0（x）= ，∴xf0（x）=sinx，

則兩邊求導(dǎo)，[xf0（x）]′=（sinx）′，

∵fn（x）為fn﹣1（x）的導(dǎo)數(shù)，n∈N*，

∴f0（x）+xf1（x）=cosx，

兩邊再同時(shí)求導(dǎo)得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，

將x= 代入上式得，2f1（ ）+ f2（ ）=﹣1

（2）證明：由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+ ），

恒成立兩邊再同時(shí)求導(dǎo)得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），

再對上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+ ），

同理可得，兩邊再同時(shí)求導(dǎo)得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），

猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ ）對任意n∈N*恒成立，

下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明等式成立：

①當(dāng)n=1時(shí)， 成立，則上式成立；

②假設(shè)n=k（k＞1且k∈N*）時(shí)等式成立，即 ，

∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）

=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）

又

= = = ，

∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）時(shí)．等式 也成立，

由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ ）對任意n∈N*恒成立，

令x= 代入上式得，nfn﹣1（ ）+ fn（ ）=sin（ + ）=±cos =± ，

所以，對任意n∈N*，等式|nfn﹣1（ ）+ fn（ ）|= 都成立

【解析】（1）由于求兩個(gè)函數(shù)的相除的導(dǎo)數(shù)比較麻煩，根據(jù)條件和結(jié)論先將原函數(shù)化為：xf0（x）=sinx，然后兩邊求導(dǎo)后根據(jù)條件兩邊再求導(dǎo)得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x= 代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再對所得的式子兩邊再求導(dǎo)，并利用誘導(dǎo)公式對所得式子進(jìn)行化簡、歸納，再進(jìn)行猜想得到等式，用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明等式成立，主要利用假設(shè)的條件、誘導(dǎo)公式、求導(dǎo)公式以及題意進(jìn)行證明，最后再把x= 代入所給的式子求解驗(yàn)證．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了基本求導(dǎo)法則的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)才能正確解答此題．