Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為1，點M在BC上，△AMC₁是以M為直角頂點的等腰直角三角形．
（1）求證：點M為BC的中點；
（2）求點B到平面AMC₁的距離；
（3）求二面角M-AC₁-C的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得CC₁⊥AM，AM⊥MC₁且AM=MC₁，從而AM⊥面CC₁M，由此能證明點M為BC中點．
（2）法一：過點B作BH⊥C₁M，交其延長線于H，則AM⊥C₁M，AM⊥CB，從而BH為點B到平面AMC₁的距離，由此能求出結(jié)果．
法二：設(shè)點B到平面AMC₁的距離為h．則VB-AMC1=VA-BMC1，由此利用等積法能求出點B到平面AMC₁的距離．
（3）法一：過M作MH⊥AC于H，作MG⊥AC₁于G，連結(jié)GH．，∠MGH為二面角M-AC₁-C的平面角，由此能求出二面角M-AC₁-C的大�。�
法二：過M作MM₁∥CC₁，交B₁C₁于M₁．以M為坐標(biāo)原點，BC，AM，MM₁分別為x軸，y軸，z軸，利用向量法能求出二面角M-AC₁-C的大小．

解答： （1）證明：∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有CC₁⊥底面ABC，AM?面ABC，
∴CC₁⊥AM，…（1分）
又∵△AMC₁是以點M為直角頂點的等腰直角三角形，
∴AM⊥MC₁且AM=MC₁
∵CC₁∩C₁M=C₁，
∴AM⊥面CC₁M，…（2分）
∵BC?面CC₁M，
∴AM⊥BC，…（3分）
∵底面ABC是邊長為1的正三角形，
∴點M為BC中點．…（4分）
（2）解法一：過點B作BH⊥C₁M，交其延長線于H，
由（1）知AM⊥C₁M，AM⊥CB，
∴AM⊥平面C₁CBB₁，
∴AM⊥BH，∴BH⊥平面AMC₁，
∴BH為點B到平面AMC₁的距離，…（6分）
∴AM=C₁M=

3

2

，
在Rt△CC₁M中，解得CC₁=

2

2

，…（7分）
∵△BHM∽△C₁CM，
∴

BH

CC1

=

BM

C1M

，∴

BH

2 2

=

1 2

3 2

，
解得BH=

6

6

．…（9分）
（2）解法二：設(shè)點B到平面AMC₁的距離為h．
則VB-AMC1=VA-BMC1，…（5分）
由（I）知  AM⊥C₁M，AM⊥CB，
∴AM⊥平面C₁CBB₁…（6分）
∵AB=1，BM=

1

2

，∴AM=MC₁=

3

2

，CC₁=

2

2

，…（7分）
∴

1

3

S△AMC1•h=

1

3

S△C1MB•AM，…（8分）
∴

1

3

×

1

2

×

3

2

×

3

2

h=

1

3

×

1

2

×

2

2

×

3

2

，
解得h=

6

6

．…（9分）
（3）解法一：過M作MH⊥AC于H，作MG⊥AC₁于G，連結(jié)GH．
∵平面AC₁⊥平面ABC，且面AC₁∩面ABC=AC，
又MH?面ABC，MH⊥AC，∴MH⊥面AC₁，∴MH⊥AC₁，
又∵MG⊥AC₁，且MH∩MG=M，
∴AC₁⊥面MHG，∴AC₁⊥GH，
故∠MGH為二面角M-AC₁-C的平面角，…（11分）
由（1）知MH=

1

2

AM=

3

4

，
在等腰直角三角形AMC₁中，MG=

2

2

AM=

2

2

•

3

2

=

6

4

，
∴sin∠MGH=

MH

MG

=

3

4

•

4

6

=

2

2

．…（13分）
因為二面角M-AC₁-C為銳二面角，故∠MGH=

π

4

，
所以二面角M-AC₁-C的大小為

π

4

．…（14分）
（3）解法二：過M作MM₁∥CC₁，交B₁C₁于M₁．
以M為坐標(biāo)原點，BC，AM，MM₁分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．…（10分）
設(shè)面ACC₁的一個法向量為

μ

=(x，y，z)，
則

AC • μ = 1 2 x+ 3 2 y=0 CC1 • μ = 2 2 z=0

，取y=1，得

μ

=（-

3

，1，0），…（11分）
同理可求得面AMC₁的一個法向量為

v

=（-

2

，0，1），…（12分）
設(shè)二面角M-AC₁-C的大小為θ，由圖知θ為銳角，
故cosθ=|

μ

，

v

|=

6

2 3

=

2

2

，解得θ=

π

4

．…（13分）
故二面角M-AC₁-C的大小為

π

4

．…（14分）

點評：本題考查點M為BC的中點的證明，考查點B到平面AMC₁的距離的求法，考查二面角M-AC₁-C的大小的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．