Question

1．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x-y-3≥0\end{array}\right.$，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取到最小值$2\sqrt{5}$時(shí)，ab的最大值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，花目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到$2a+b=2\sqrt{5}$，
然后利用基本不等式求得ab的最大值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x-y-3≥0\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（2，1）．
化目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）為$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖知在點(diǎn)（2，1）處取得最小值，則$2a+b=2\sqrt{5}$，
由基本不等式有：$2a+b=2\sqrt{5}≥2\sqrt{2ab}⇒ab≤\frac{5}{2}$．
∴ab的最大值為$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．