Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x∈[1，a+1]，總有f（x）≤0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的對稱軸是x=a知函數(shù)在[1，a]遞減，根據(jù)定義域和值域均為[1，a]，列出方程組即可求得a值；
（2）由f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)得a≥2，由函數(shù)在區(qū)間[1，a+1]上總有f（x）≤0，可得$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（a+1）≤0\end{array}\right.$，解得a的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-a）²+5-a²（a＞1），
∴f（x）在[1，a]上是減函數(shù)，
又定義域和值域均為[1，a]，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=a\\ f（a）=1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-2a+5=a\\{a}^{2}-2{a}^{2}+5=1\end{array}\right.$，解得 a=2．
（2）∵f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，
∴a≥2，
又∵對任意的x∈[1，a+1]，總有f（x）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（a+1）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-2a+5≤0\\{（a+1）}^{2}-2a（a+1）+5≤0\end{array}\right.$
解得：a≥3，
綜上所述，a≥3

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．