Question

17．設(shè)曲線f（x）=xⁿe^x在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為3e．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＞ax+1對(duì)x∈（-∞，-1）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由條件可得方程，可得n=2，再令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）由題意可得x²e^x＞ax+1對(duì)x∈（-∞，-1）恒成立，在x＜-1時(shí)，y=x²e^x的圖象恒在直線y=ax+1的上方，畫出它們的圖象，求出x=-1時(shí)的交點(diǎn)，通過圖象觀察即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=xⁿe^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（nx^n-1+xⁿ）e^x，
由題意可得f′（1）=（n+1）e=3e，
解得n=2，
即有f（x）=x²e^x，
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（2x+x²）e^x，
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，令f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，
即有f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（0，+∞），減區(qū)間為（-2，0）；
（2）f（x）＞ax+1對(duì)x∈（-∞，-1）恒成立，
即為x²e^x＞ax+1對(duì)x∈（-∞，-1）恒成立，
即有在x＜-1時(shí)，y=x²e^x的圖象恒在直線y=ax+1的上方，
畫出y=x²e^x的圖象，直線y=ax+1恒過定點(diǎn)（0，1），
觀察x＜-1的圖象，可得x=-1時(shí)，y=$\frac{1}{e}$，此時(shí)a=1-$\frac{1}{e}$，
當(dāng)直線的斜率a≥1-$\frac{1}{e}$時(shí)，y=x²e^x的圖象恒在直線y=ax+1的上方，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1-$\frac{1}{e}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線斜率和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．