Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中點(diǎn)，E是線段D₁O上一點(diǎn)，且D₁E=2EO．求證平面CDE⊥平面CD₁O．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法能證明平面CDE⊥平面CD₁F

解答： 證明：以DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)棱長(zhǎng)為1，C（0，1，0），D₁（0，0，1），O（

1

2

，

1

2

，0），
D（0，0，0），（

1

3

，

1

3

，

1

3

），
設(shè)平面CD₁O的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），
由

m

•

D1O

=0，

m

•

CD1

=0，
得

1 2 x1+ 1 2 y1-z1=0 -y1+z1=0

，取x₁=1．
得y₁=z₁=1，即m=（1，1，1）．
由

D1E

=2

EO

，得

D1E

=

2

3

D1O

=（

1

3

，

1

3

，-

2

3

），

DE

=

DD1

+

D1E

=（

1

3

，

1

3

，

1

3

）．
又設(shè)平面CDE的法向量為

n

=（x₂，y₂，z₂），
由

n

•

CD

=0，

n

•

DE

=0，得

y2=0 1 3 x2+ 1 3 y2+ 1 3 z2=0

取x₂=1，得n=（1，0，-1）．
∴

n

•

m

=0，∴平面CDE⊥平面CD₁F．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．