Question

已知過點A（0，b），且斜率為1的直線l與圓O：x²+y²=16交于不同的兩點M、N．
（Ⅰ）求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）當△MON的面積最大時，求實數(shù)b的值；
（Ⅲ）設關于x的一元二次方程x²+2ax-b²+16=0，若a、b是從區(qū)間[-4，4]上任取的兩　個數(shù)，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）直線l與圓O：x²+y²=16交于不同的兩點M、N，圓心到直線l的距離d=

|b|

2

＜4，可得實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）S_△MON=

1

2

×2

16-d2

×d，利用基本不等式，確定△MON的面積最大，即可求實數(shù)b的值；
（Ⅲ）試驗的全部結果構成的區(qū)域為：{（a，b）|-4≤a≤4，-4≤b≤4}，是邊長為8的正方形滿足題意的區(qū)域為：{（a，b）|a²+b²≥16，-4≤a≤4，-4≤b≤4}，分別求解區(qū)域的面積，可求方程有實根的概率．

解答： 解：（Ⅰ）設直線l：x-y+b=0，
∵直線l與圓O：x²+y²=16交于不同的兩點M、N，
∴圓心到直線l的距離d=

|b|

2

＜4，
∴-4

2

＜b＜4

2

；
（Ⅱ）∵|MN|=2

16-d2

，
∴S_△MON=

1

2

×2

16-d2

×d≤

16-d2+d2

2

=8，
當且僅當16-d²=d²，即d=2

2

時，△MON的面積最大，此時b=±4；
（ III）試驗的全部結果所構成的區(qū)域為：{（a，b）|-4≤a≤4，-4≤b≤4}，是邊長為8的正方形；
記事件C為“一元二次方程x²+2ax-b²+16=0有實根”，
因為方程x²+2ax-b²+16=0有實根，
即△=（2a）²-4（-b²+16）=4a²+4b²-64≥0
即a²+b²≥16，
故構成事件A的區(qū)域為：{（a，b）|a²+b²≥16，-4≤a≤4，-4≤b≤4}，
即圖中的陰影部分
這是一個幾何概型，所以
P（C）=

S陰影

S正方形

=

82-π•42

82

=1-

π

4

；    
即一元二次方程x²+2ax-b²+16=0有實根的概率為1-

π

4

．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，考查概率知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．