Question

【題目】如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，點(diǎn)E在CC1上且C1E=3EC

（1）證明：A1C⊥平面BED；
（2）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，以DA，DC，DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）

， ， ，

∵ ，

，

∴ ， ，

∴A1C⊥平面BED

（2）解：∵ ， ，

設(shè)平面A1DE的法向量為 ，

由 及 ，

得﹣2x+2y﹣3z=0，﹣2x﹣4z=0，

取

同理得平面BDE的法向量為 ，

∴cos＜ ＞= = =﹣ ，

所以二面角A1﹣DE﹣B的余弦值為

【解析】（1）以DA，DC，DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 ， ， ，由向量法能證明A1C⊥平面BED．（2）由 ， ，得到平面A1DE的法向量 ，同理得平面BDE的法向量為 ，由向量法能求出二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．