Question

已知函數(shù)。

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處切線的斜率；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值。

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。（3）；

【解析】

試題分析：（1）把代入函數(shù)解析式中，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把代入導(dǎo)函數(shù)中去即得切線的斜率；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)，要對(duì)進(jìn)行討論，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0得增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得減區(qū)間；（3）利用（2）中求得的單調(diào)區(qū)間來(lái)求函數(shù)的最值即可，但要對(duì)在范圍內(nèi)進(jìn)行討論；

試題解析：【解析】
（1）當(dāng)時(shí)，， 2分

故曲線在處切線的斜率為。 4分

（2）。 6分

①當(dāng)時(shí)，由于，故。

所以， 的單調(diào)遞減區(qū)間為。 8分

②當(dāng)時(shí)，由，得。

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，。

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。 10分

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。 11分

（3）根據(jù)（2）得到的結(jié)論，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上的最小值為，。 13分

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上的最小值為，。

綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)，在區(qū)間上的最小值為。 14分

考點(diǎn)：1、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、函數(shù)的單調(diào)性及最值問(wèn)題；