Question

【題目】已知函數(shù)，．

當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

當(dāng)時(shí)，曲線和曲線是否存在公共切線？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在公共切線，理由詳見解析.

【解析】

(1)構(gòu)造函數(shù)，求出其最大值，解不等式即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)假設(shè)存在這樣的直線且直線與曲線和曲線分別相切與點(diǎn).分別求出兩條切線方程，根據(jù)斜率與縱截距建立方程組，減元后得到，構(gòu)造新函數(shù)研究單調(diào)性與極值即可.

解：令，則.

若，則，若，則.

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

所以是的極大值點(diǎn)，也是的最大值點(diǎn)，即.

若恒成立，則只需，解得.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

假設(shè)存在這樣的直線且與曲線和曲線分別相切與點(diǎn).

由，得.

曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.

同理可得，

曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.

所以則，即

構(gòu)造函數(shù)

存在直線與曲線和曲線相切,

等價(jià)于函數(shù)在上有零點(diǎn)

對(duì)于.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以在上是減函數(shù).

又，，所以存在，使得，即.

且當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，.

綜上，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

所以是的極大值，也是最大值，且.

又，，所以在內(nèi)和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).

故假設(shè)成立，即曲線和曲線存在公共切線.