Question

已知y=f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，f′(x)+

f(x)

x

＞0，則關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f(x)+

1

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

分析：令g(x)=f(x)+

1

x

=0得f（x）=-

1

x

，即xf（x）=-1，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)xf（x）的單調(diào)性和極值，即可得到結(jié)論．

解答：解：令g(x)=f(x)+

1

x

=0，得f（x）=-

1

x

，
即xf（x）=-1，即零點(diǎn)滿足此等式
不妨設(shè)h（x）=xf（x），則h'（x）=f（x）+xf'（x）．
∵當(dāng)x≠0時(shí)，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴當(dāng)x≠0時(shí)，

xf′(x)+f(x)

x

＞0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，xf'（x）+f（x）＞0，即h'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時(shí)，xf'（x）+f（x）＜0，即h'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，同時(shí)也是最小值h（0）=0，
∴h（x）≥0，
∴h（x）=-1無解，即xf（x）=-1無解
即函數(shù)g(x)=f(x)+

1

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)．
故答案為：0．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，涉及的知識點(diǎn)較多．