Question

已知y=f（x）為R上的可導函數，當x≠0時，f′(x)+

f(x)

x

＞0，則關于x的函數g(x)=f(x)+

1

x

的零點個數為

 

．

Answer 1

分析：令g(x)=f(x)+

1

x

=0得f（x）=-

1

x

，即xf（x）=-1，然后利用導數研究函數xf（x）的單調性和極值，即可得到結論．

解答：解：令g(x)=f(x)+

1

x

=0，得f（x）=-

1

x

，
即xf（x）=-1，即零點滿足此等式
不妨設h（x）=xf（x），則h'（x）=f（x）+xf'（x）．
∵當x≠0時，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴當x≠0時，

xf′(x)+f(x)

x

＞0，
即當x＞0時，xf'（x）+f（x）＞0，即h'（x）＞0，此時函數h（x）單調遞增，
當x＜0時，xf'（x）+f（x）＜0，即h'（x）＜0，此時函數h（x）單調遞減，
∴當x=0時，函數h（x）取得極小值，同時也是最小值h（0）=0，
∴h（x）≥0，
∴h（x）=-1無解，即xf（x）=-1無解
即函數g(x)=f(x)+

1

x

的零點個數為0個．
故答案為：0．

點評：本題主要考查函數零點個數的判斷，利用條件構造函數，利用導數研究函數的單調性和極值是解決本題的關鍵，綜合性較強，涉及的知識點較多．