Question

已知y=f（x）為R上可導(dǎo)函數(shù)，當x≠0時，f′(x)+

f(x)

x

＞0則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=xf（x）+1的零點個數(shù)為（　�。�

Answer 1

分析：由g（x）=xf（x）+1=0得xf（x）=-1，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)xf（x）的單調(diào)性和極值，即可得到結(jié)論．

解答：解：由g（x）=xf（x）+1=0得xf（x）=-1，
設(shè)g（x）=xf（x），則g'（x）=f（x）+xf'（x）．
∵當x≠0時，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴當x≠0時，

xf′(x)+f(x)

x

＞0，
即當x＞0時，xf'（x）+f（x）＞0，即g'（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當x＜0時，xf'（x）+f（x）＜0，即g'（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴當x=0時，函數(shù)g（x）取得 極小值，同時也是最小值g（0）=0，
∴g（x）≥0，
∴g（x）=-1無解，
即函數(shù)g（x）=xf（x）+1的零點個數(shù)為0個．
故選C．

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，涉及的知識點較多．