Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均不為0，且滿足關(guān)系式an=

3an-1

an-1+3

（n≥2）．
（1）求證數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）當(dāng)a₁=

1

2

時(shí)，求數(shù)列{

1

an

}的前100項(xiàng)和，并寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

1

an

=

an-1+3

3an-1

=

1

an-1

+

1

3

，由此能證明數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列．
（2）由a₁=

1

2

，得

1

an

=2+（n-1）×

1

3

=

1

3

n+

5

3

，由此能求出數(shù)列{

1

an

}的前100項(xiàng)和和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： （1）證明：∵a_n=

3an-1

an-1+3

（n≥2），
∴

1

an

=

an-1+3

3an-1

=

1

an-1

+

1

3

，
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

3

，n≥2，
∴數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列．
（2）解：∵a₁=

1

2

，∴

1

a1

=2，
又

1

an

-

1

an-1

=

1

3

，∴

1

an

=2+（n-1）×

1

3

=

1

3

n+

5

3

，
∴數(shù)列{

1

an

}的前100項(xiàng)和：
S₁₀₀=

1

3

(1+2+3+…+100）+

5

3

×100
=

1

3

×

100×101

2

+

500

3

=

5550

3

．
∵

1

an

=

1

3

n+

5

3

，
∴an=

3

n+5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前100項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．