Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD⊥面ABCD，PD=DA=2，F(xiàn)，E分別為AD，PC的中點(diǎn)．
（1）證明：DE∥面PFB．          
（2）求點(diǎn)E到平面PFB的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DE∥面PFB．
（2）由

PE

=（0，1，-1），平面PFB的法向量

n

=(2，-1，1)，利用向量法有求出點(diǎn)E到平面PFB的距離．

解答： （1）證明：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意知：P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），

FP

=(-1，0，2)，

FB

=(1，2，0)，

DE

=(0，1，1)，
設(shè)平面PFB的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • FP =-x+2z=0 n • FB =x+2y=0

，取x=2，得

n

=(2，-1，1)，
∵

DE

•

n

=0，DE不包含于平面PFB，
∴DE∥面PFB．
（2）解：∵

PE

=（0，1，-1），平面PFB的法向量

n

=(2，-1，1)，
∴點(diǎn)E到平面PFB的距離d=

| PE • n |

| n |

=

|0-1-1|

6

=

6

3

．
∴點(diǎn)E到平面PFB的距離為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．