Question

4．已知函數(shù)f（x）=sinx+x，則使不等式f（sinθ）+f（cosθ）≥0成立的θ的取值范圍是[2kπ-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$+2kπ]，k∈Z．

Answer 1

分析 通過(guò)求導(dǎo)數(shù)便可判斷f（x）在R上單調(diào)遞增，并且容易判斷為奇函數(shù)，從而可以由f（sinθ）+f（cosθ）≥0便可得到sinθ≥-cosθ，進(jìn)一步便可得到$sin（θ+\frac{π}{4}）≥0$，這樣根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及周期性便可得到θ的取值范圍．

解答 解：f′（x）=1+cosx≥0；
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
又f（-x）=sin（-x）-x=-（sinx+x）=-f（x）；
∴f（x）為奇函數(shù)；
∴由f（sinθ）+f（cosθ）≥0得，f（sinθ）≥f（-cosθ）；
∵f（x）在R上為增函數(shù)；
∴sinθ≥-cosθ；
∴sinθ+cosθ≥0；
∴$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）≥0$，$sin（θ+\frac{π}{4}）≥0$；
∴$2kπ≤θ+\frac{π}{4}≤π+2kπ，k∈Z$；
∴$2kπ-\frac{π}{4}≤θ≤\frac{3π}{4}+2kπ，k∈Z$；
∴θ的取值范圍為$[2kπ-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}+2kπ]$，k∈Z．
故答案為：[2kπ-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}+2kπ$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，余弦函數(shù)的值域，奇函數(shù)的定義，及對(duì)奇函數(shù)定義的運(yùn)用，以及增函數(shù)的定義，兩角和的正弦公式，熟悉正弦函數(shù)的圖象及周期性．