Question

14．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是任意非零平面向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，如果x₁，x₂是方程$\overrightarrow{a}$x²+$\overrightarrow$x+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$（x∈R）的兩個實數(shù)根，試用反證法證明x₁=x₂．

Answer 1

分析 將x₁，x₂代入方程，得兩式，這兩式分別與$\overrightarrow$點積運(yùn)算，由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，得$^{2}{x}_{1}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}=0$，$^{2}{x}_{2}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}=0$，假設(shè)x₁≠x₂，上兩式式必有一式不成立，事實上兩式同時成立，故假設(shè)不成立，由此證明x₁=x₂．

解答 解：將x₁，x₂代入方程，得：
$\overrightarrow{a}{{x}_{1}}^{2}+\overrightarrow{x}_{1}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，①
$\overrightarrow{a}{{x}_{2}}^{2}+\overrightarrow{x}_{2}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，②
兩式分別與$\overrightarrow$點積運(yùn)算，得：
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{{x}_{1}}^{2}+\overrightarrow•\overrightarrow{x}_{1}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}=0$，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{{x}_{2}}^{2}+\overrightarrow\overrightarrow{x}_{2}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}=0$，
∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，
整理，得$^{2}{x}_{1}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}=0$，③
$^{2}{x}_{2}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}=0$，④
假設(shè)x₁≠x₂，又b≠0，③④式可看作一次函數(shù)，
即有一個根，
則③④式必有一式不成立，
事實上③④式同時成立，故假設(shè)不成立，
∴x₁=x₂．

點評 本題考查方程兩根相等的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)和反證法的合理運(yùn)用．