Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在是否存在零點(diǎn)？如果存在，求出零點(diǎn)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）不存在零點(diǎn).

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)性，（2）先利用導(dǎo)數(shù)求在上最大值，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，化簡(jiǎn)證得，從而確定在不存在零點(diǎn).

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

（一）當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增；

時(shí)，，單調(diào)遞減.

（二）時(shí)，方程有兩解或1

①當(dāng)時(shí)，

時(shí)，，在，上單調(diào)遞減.

時(shí)，，單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)，令，得或

（i）當(dāng)時(shí)，時(shí)恒成立，在上單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)時(shí)，.

時(shí)，，在、上單調(diào)遞增.

時(shí)，，單調(diào)遞減.

（iii）當(dāng)時(shí)，

時(shí)，，在，單調(diào)遞增.

時(shí)，，單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，在處取得極大值也是最大值.

令，則，令得，

當(dāng)，，當(dāng)，，

所以在定義域上先增后減，在處取最大值0，所以，，

所以，，，所以

即，

又，所以函數(shù)在不存在零點(diǎn).