Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知射線l：θ=

π

4

與曲線C：

x=t+1 y=(t-1)2

（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫出射線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求線段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)．B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由直線l的極坐標(biāo)直接得到直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，直角消掉曲線C中的參數(shù)t得其直角坐標(biāo)方程；
（2）聯(lián)立直線和拋物線方程，求得A，B的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求|AB|．

解答： 解：（1）∵射線l：θ=

π

4

，
∴其直角坐標(biāo)方程為y=x（x≥0），則射線l的參數(shù)方程為

x= 2 2 t y= 2 2 t

(t≥0)，
由曲線C：

x=t+1 y=(t-1)2

，消掉t得：y=（x-2）²；
（2）由

y=x y=(x-2)2

，得

x=1 y=1

，

x=4 y=4

．
令A(yù)（1，1），B（4，4）．
則線段AB中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（

5

2

，

5

2

），極坐標(biāo)為（

5 2

2

，

π

4

）．
|AB|=

(4-1)2+(4-1)2

=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查了參數(shù)方程化普通方程，訓(xùn)練了兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．