Question

如圖，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分別為AB，CB的中點，M為底面△OBF的重心．
（Ⅰ）求證：平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求證：PM∥平面AFC；
（Ⅲ）求多面體CD-AFEB的體積V．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出CB⊥平面ABEF，CB⊥AF，AF⊥BF，由此能證明平面ADF⊥平面CBF．
（Ⅱ）連結OM延長交BF于H，由已知條件得PH∥CF，從而得到PH∥平面AFC，連結PO，由已知條件推導出PO∥平面AFC，所以平面POO₁∥平面AFC，由此能證明PM∥平面AFC．
（Ⅲ）多面體CD-AFEB的體積可分成三棱錐C-BEF與四棱錐F-ABCD的體積之和，由此能求出結果．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB．
∴CB⊥平面ABEF，
又AF?平面ABEF，所以CB⊥AF，（1分）
又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，
由余弦定理知BF=

3

，
∴AF²+BF²=AB²，得AF⊥BF，（2分）
AF∩CB=B∴AF⊥平面CFB，（3分）
∵AF?平面AFC，∴平面ADF⊥平面CBF．（4分）
（Ⅱ）證明：連結OM延長交BF于H，
則H為BF的中點，又P為CB的中點，
∴PH∥CF，又∵AF?平面AFC，∴PH∥平面AFC，（5分）
連結PO，則PO∥AC，AC?平面AFC，PO∥平面AFC，（6分）
∵PO∩PO₁=P，∴平面POO₁∥平面AFC，（7分）
PM?平面AFC，PM∥平面AFC．（8分）
（Ⅲ）解：多面體CD-AFEB的體積可分成三棱錐C-BEF與
四棱錐F-ABCD的體積之和，（9分）
在等腰梯形ABCF中，計算得EF=1，兩底間的距離EE₁=

3

2

∴VC-BEF=

1

3

S△BEF×CB=

1

3

×

1

2

×1×

3

2

×1=

3

12

，（10分）
V_F-ABCD=

1

3

SEFCD×EE1=

1

3

×2×1×

3

2

=

3

3

，（11分）
∴V=VC-BEF+VF-ABCD=

5 3

12

．（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查多面體和體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．