Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（lga+2）x+lgb滿足f（-1）=-2，且對(duì)于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）y=

f(x)+(2k-4)x+k-1

的定義域?yàn)镽，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（-1）=-2列一個(gè)關(guān)于a，b的方程，再根據(jù)f（x）≥2x恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出另一個(gè)方程（不等式成立時(shí)只能取等號(hào)），聯(lián)立解方程組即可；
（2）由題意，根號(hào)下的式子≥0在實(shí)數(shù)集上恒成立，經(jīng)化簡(jiǎn)可知為二次函數(shù)函數(shù)值大于或等于0在R上恒成立，借助判別式容易解決．

解答： 解：（1）由f（-1）=-2，知lgb-lga+1=0，∴

a

b

=10．
又f（x）≥2x恒成立，所以x²+x•lga+lgb≥0恒成立，
故△=（lga）²-4lgb≤0．將

a

b

=10代入得：
（lgb）²-2lgb+1≤0，即（lgb-1）²≤0，即lgb=1．
故b=10，所以a=100．
（2）由（1）知f（x）=x²+4x+1，代入y=

f(x)+(2k-4)x+k-1

化簡(jiǎn)后得：
y=

x2+2kx+k

，因?yàn)樵摵瘮?shù)定義域?yàn)镽，
所以x²+2kx+k≥0，x∈R恒成立，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知只需△=（2k）²-4k≤0即可，
解得0≤k≤1．
故k的取值范圍是[0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的恒成立問(wèn)題，此類問(wèn)題一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解，而研究函數(shù)的最值往往要利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，這是一種常規(guī)思路；當(dāng)然作為二次不等式在R上的恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象、判別式等似乎更簡(jiǎn)單．