Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2cosθx+1，x∈[-

3

2

，

1

2

]
（1）當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．
（2）若f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)函數(shù)，且θ∈[0，2π），求θ的取值范圍．
（3）若sinα，cosα是方程f（x）=

1

4

+cosθ的兩個(gè)實(shí)根，求

tan2α+1

tanα

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，f（x）=x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

，x∈[-

3

2

，

1

2

]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最值．
（2）由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得cosθ≥

1

2

或cosθ≤-

3

2

 （舍去），結(jié)合θ∈[0，2π），求得θ的取值范圍．
（3）由條件利用韋達(dá)定理可得 sinα+cosα=2cosθ，sinαcosα=

3

4

-cosθ．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosθ=

-1+ 11

4

，可得

tan2α+1

tanα

=

1

sinαcosα

 的值

解答： 解：（1）當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，∵f（x）=x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

，x∈[-

3

2

，

1

2

]，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）取得最小值為

3

4

，當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，f（x）取得最大值為

7+2 3

4

．
（2）若f（x）=x²-2cosθx+1在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)函數(shù)，
則有cosθ≥

1

2

或cosθ≤-

3

2

 （舍去），
結(jié)合θ∈[0，2π），求得θ的取值范圍為[0，

π

3

]∪[

5π

3

，2π）．
（3）若sinα，cosα是方程f（x）=

1

4

+cosθ的兩個(gè)實(shí)根，即sinα，cosα是方程x²-2cosθx+

3

4

-cosθ=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴sinα+cosα=2cosθ，sinαcosα=

3

4

-cosθ．
∴1+2（

3

4

-cosθ）=4cos²θ，解得cosθ=

-1+ 11

4

，
∴

tan2α+1

tanα

=

1

sinαcosα

=

1

3 4 -cosθ

=

1

3 4 - -1+ 11 4

=

16+4 11

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．